Maciej Romaniuk
O symulowaniu kosztów utrzymania dla systemu dystrybucji wody o parametrach rozmytych
W niniejszym artykule przedstawiono model obliczający koszty utrzymania i konserwacji dla systemu dystrybucji wody (WDS). Zbiór możliwych stanów każdego połączenia (tzn. odcinku rurociągu w WDS) jest zdefiniowany przez różne poziomy jakości rury oraz występujące typy uszkodzeń. Proces przejść pomiędzy tymi stanami jest opisany procesem semi-Markowa. Wykorzystując symulacje Monte Carlo, uzyskano długości okresów obsługi oraz momenty niezbędnych wymian i napraw. Wartości te są następnie wykorzystywane do estymowania kosztów utrzymania całego WDS. W kroku tym brana jest pod uwagę wartość pieniądza w czasie. W przeciwieństwie do innych podejść, zamiast stałej stopy procentowej, założono stochastyczny proces stopy (dany jednowymiarowym modelem Vasicka). Następnie na podstawie przeprowadzonych symulacji wykonano analizę opartą o różne miary niezawodności i obliczone koszty obsługi, np. zbadano wpływ parametrów połączenia (takich jak intensywność uszkodzeń) na ostateczne koszty konserwacji. Analizy tego typu mogą pełnić istotną rolę w ocenie ryzyka dla różnych możliwych do podjęcia decyzji. Poza podejściem typu crisp, zastosowano również symulacje Monte Carlo gdy niektóre z parametrów WDS zostały określone w sposób rozmyty. Dzięki temu można wykorzystać niepewność oraz wiedzę ekspercką w proponowanej metodzie estymacji kosztów obsługi. Zwrócono uwagę na różnice występujące pomiędzy podejściem crisp i rozmytym. Zostały również opisane niezbędne dla obydwu podejść odpowiednie algorytmy symulacyjne.
On simulation of maintenance costs for water distribution system with fuzzy parameters
In this paper we propose a model for evaluation of maintenance costs of a water distribution system (WDS). The set of possible states of each connection (i.e. a pipeline in the WDS) is related to various possible degrees of quality of the pipe and types of its malfunctions. The process of transitions between these states forms a semi-Markov process. Using Monte Carlo simulations, the length of services and the times of necessary replacements and repairs of the connections are obtained. These values are then used as an input for estimation of the maintenance costs of the whole WDS. During this step we take into account the concept of present value of money. Contrary to other approaches, instead of a constant yield, a stochastic process (the one-factor Vasicek model) of an interest rate is assumed. Then various simulated measures of reliability and the maintenance costs can be analysed, like an influence of various parameters of the pipes (e.g. intensities of damages) on the final costs of the performed services. They can be crucial in the analysis of risk for various possible decisions. Apart from the crisp approach, the Monte Carlo simulations are also applied, if some of the parameters of the WDS are fuzzified. Therefore uncertainty and experts’ knowledge can be easily incorporated into the proposed procedure of the estimation of the maintenance costs. Observed differences between the crisp and the fuzzy output are highlighted. Simulation algorithms, necessary for both of these approaches, are also provided.
Optymalizacja kosztów eksploatacyjnych rurociągu dla V-kształtnej funkcji intensywności uszkodzeń
W niniejszej publikacji skupiam się na obliczeniu kosztów eksploatacji wodociągu (water distribution system – WDS), jeśli pod uwagę zostanie wzięta wartość pieniądza w czasie. W przeciwieństwie do klasycznego podejścia, zamiast stałej wartości stopy procentowej, zakładam stochastyczny proces stopy procentowej (w postaci jednoczynnikowego modelu Vasicka). Założenie to przedstawia niepewne, przyszłe zachowanie stopy procentowej w bardziej dokładny i realistyczny sposób. Momenty awarii połączeń w WDS generowane są z wykorzystaniem metody Monte Carlo poprzez zastosowanie nowego typu funkcji intensywności uszkodzeń (hazard rate function – HRF), który zaproponowany został w niniejszej publikacji. Ponadto, jakość połączenia oraz ilość wcześniejszych uszkodzeń ma bezpośredni wpływ na statystyczne właściwości wprowadzonej HRF. Oprócz analizy wygenerowanych za pomocą symulacji wyników (takich jak koszty eksploatacji), użyta została metoda Kiefera-Wolfowitza w celu lepszego dopasowania jednego z parametrów WDS – deterministycznego i bezwarunkowego momentu wymiany każdego z połączeń (czyli wymiany planowanej). Zaprezentowane zostały również algorytmy zarówno dla symulowania momentów uszkodzeń przy użyciu zaproponowanej HRF, jak i dla kroku optymalizacyjnego. Ponadto, wykonana została analiza statystyczna kilku przykładów WDS dla dokładnych („crisp”) i rozmytych („fuzzy”) wartości parametrów.
Optimization of maintenance costs of a pipeline for a V-shaped hazard rate of malfunction intensities
In this paper I focus on an evaluation of maintenance costs of a water distribution system (WDS), if a concept of a value of money in time is taken into account. Contrary to more classical approaches, instead of a constant yield, a strictly stochastic process (i.e., the one-factor Vasicek model) of an interest rate is assumed. Such an assumption presents uncertain, future behaviour of the yield in a more correct, realistic way. Moments of failures of connections in a WDS are generated using the Monte Carlo simulations via a new kind of a convex hazard rate function (HRF), which is proposed in this paper. Moreover, quality of a pipeline and a number of previous failures have direct influence on statistical properties of this introduced HRF. Apart from an analysis of the simulated output (like the maintenance costs), the Kiefer-Wolfowitz method is used for a better adjustment of one of parameters of a WDS – deterministic and unconditional replacement (i.e., planned replacement) time of each pipe. Algorithms, for both the simulations of the failure moments for the introduced HRF and the optimization step, are also provided. Additionally, some examples of a WDS for a crisp and a fuzzified settings are statistically analysed.
Estymacja kosztów eksploatacyjnych rurociągu dla U-kształtnej funkcji intensywności uszkodzeń przy nieprecyzyjnym podejściu
W niniejszym artykule omawiamy nieprecyzyjne podejścia do problemu obliczenia kosztów eksploatacji systemu dystrybucji wody (WDS). Czasy uszkodzeń rur modelowane są z wykorzystaniem nowo zaproponowanej trzyczęściowej wypukłej funkcji intensywności uszkodzeń (hazard rate function, HRF) dla której brana jest pod uwagę również liczba wcześniejszych uszkodzeń. Do modelowania nieprecyzyjności istotnych parametrów tej HRF oraz kosztów działań serwisowych są wykorzystywane zarówno zbiory rozmyte jak i zbiory cieniowane. W przeciwieństwie do bardziej klasycznych i szeroko wykorzystywanych podejść do analizy kosztów eksploatacji (tzn. stałej stopy procentowej lub wartości nominalnej pieniądza), założono ściśle stochastyczny proces (tzn. jednoczynnikowy model Vasicka) dla stopy procentowej. Podejście to modeluje przyszłe zachowanie stopy procentowej (czyli przyszłej wartości pieniądza) w bardziej realistyczny sposób. Zaprezentowano również odpowiednie algorytmy wraz z przykładowymi wynikami symulacji numerycznych dla dwóch zestawów parametrów, związanych ze zbiorami rozmytymi i cieniowanymi.
Estimation of maintenance costs of a pipeline for a U-shaped hazard rate function in the imprecise setting
In this paper, we discuss imprecise settings for an evaluation of the maintenance costs of a water distribution system (WDS). Moments of failures of pipes are modelled using a newly proposed three-piece convex hazard rate function (HRF) for which number of previous failures is taken into account, too. Both fuzzy sets and shadowed sets are used to model the impreciseness of important parameters of this HRF and the costs of maintenance services. Contrary to more classical and widely-used approaches to cost analysis (i.e. a constant yield or nominal value of money), a strictly stochastic process (i.e. the one-factor Vasicek model) of an interest rate is assumed in the analysis of maintenance costs. This approach models future behaviour of the interest rate (i.e. the future value of money) in a more realistic way. Respective algorithms together with exemplary results of numerical simulations for two setups, which are related to fuzzy and shadowed sets, are also provided.